Жидкости в гидродинамике. Моделирование пожаров

 

Обзор

Гидродинамика описывает движение жидкостей или газов. Необходимо принять во внимание следующие аспекты:

• сжимаемость
• граничные условия, например, стены
• турбулентность
• теплопроводность
• химические реакции
• различные виды и состояния вещества
• и т.д.

 

Наука о пожарной безопасности

В науке о пожарной безопасности гидродинамика играет важную роль в понимании динамических явлений пожара. Гидродинамику необходимо учитывать, например, во время процессов смешивания, горения, конвективного теплообмена или распространения дыма в сложных сооружениях (зданиях).

 

Техническое применение

Классическим примером применения является оптимизация автомобилей для уменьшения лобового сопротивления.

 

Основы

В гидродинамике наиболее фундаментальными являются следующие процессы:

• Поток описывает движение среды. Это векторное поле описывает скорость жидкости в каждой точке пространства и времени: \overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}(x, t). Компоненты скорости обозначаются как \overrightarrow{v}=(v_{x}, v_{y}, v_{z})=(u, v, w).
• Конвекция это внутреннее движение жидкости, то есть обусловленное плавучестью.
• Адвекция описывает перенос вещества или свойств (плотности, температуры, дыма) под действием потока. Конвекция – это адвекция скорости.
• Диффузия это процесс, который управляет процессом балансировки для уравновешивания различий в свойствах потока (скорости, температуре, плотности дыма).

 

Величины расхода

Таблица 2.1. Величины расхода

Имя	Символ	Единицы измерения	Тип
плотность	\rho	кг/м	скалярное поле
скорость	\overrightarrow{v}	м/с	векторное поле
завихренность	\overrightarrow{\omega}=\triangledown\times\overrightarrow{v}	1/с	векторное поле
плотность импульса	\overrightarrow{u}=\rho\overrightarrow{v}	кг/(м2·с)	векторное поле
давление	p	p_a = кг/(м·с2)	скалярное поле
температура	T	К	скалярное поле
удельная энтальпия	h=\int_{T_0}^{T}c_p(T')\text{d}T'+\triangle h^0_f	Дж/кг = м2/с2	скалярное поле

Где c_p(T) является ли теплоемкость при температуре T и \Delta h_f^0 это теплота образования.

 

Скорость звука

В жидкостях и твердых телах информация (изменения потока, возмущения) распространяется с конечной скоростью: скоростью звука. Звуковые волны представляют собой волны продольного сжатия. Типичные скорости распространения следующие 343~м/с в воздухе, 1484~м/с в воде и 5120~м/с в стали. В целом скорость звука c_s в идеальном газе дается:

 

c_s = \sqrt{\frac{\gamma k_B T}{m}} \quad\quad (2.1)

 

где \gamma коэффициент теплоемкости \gamma=c_P/c_V, k_B является ли постоянная Больцмана ( \sim\!1.381\cdot 10^{−23}~J/K), T температура газа и m масса одной молекулы газа. В общем случае для данного вида газа скорость звука зависит только от температуры. Для сухого воздуха ее можно приблизительно определить как:

 

c_{s, air} =(331.3+0.606\cdot \Theta) \quad m/s \quad\quad (2.2)

 

где \Theta является ли температура воздуха в ^\circ C.

 

Уравнение состояния

Для идеального газа состояние обычно можно описать в терминах двух термодинамических переменных ( n, \rho, p, e, T, V, m, h). Следуя комбинации законов Бойля и Чарльза в термодинамическом равновесии, уравнение состояния имеет вид:

 

pV = nRT \quad\quad (2.3)

 

где R = 8.314~Дж/(моль~К) является ли универсальная газовая постоянная и n количество частиц. Реактивные потоки в основном представляют собой соединения нескольких различных видов. Таким образом, уравнение состояния для системы, находящейся в равновесии с N виды становятся

 

p = f(V, T, n_1 , \dots , n_N)

 

Закон парциальных давлений Дальтона p_i позволяет сформулировать общее давление

 

p = \sum_{i=1}^N p_i = \frac{1}{V} \sum_{i=1}^N n_i R T\quad

 

Характеристика потоков

Потоки текучих сред (жидкостей и газов) имеют одни и те же основные характеристики. Далее не будет различий в потоках жидкости или газа. Они будут отличаться только свойствами материала. Примеры для потока текучей среды:

 

Рис. 2.1. Вихревая улица Фон Кармана, наблюдаемая в природе. Источник: Wikkimedia Commons.

 

Рис. 2.2. Вихревая улица Фон Кармана в лаборатории. Источник: Wikkimedia Commons.

 

Сжимаемые потоки

Потоки со скоростями, значительно меньшими ( \ll c_s) ниже скорости звука являются несжимаемыми, т. Е. звуковые волны бесконечно быстры в масштабе задействованных процессов. Таким образом, все изменения плотности быстро уравновешиваются. Объекты, движущиеся со скоростью не менее 0.3c_s начните вводить флуктуации плотности. Схемы течения сверхзвуковых явлений (взрыв, сверхзвуковые самолеты) и соответствующие инженерные подходы полностью отличаются от таковых в случае субзвуковых течений.

Примечание: Изменения температуры, как и при пожаре, приводят к изменению плотности и, следовательно, к так называемым слабо сжимаемым потокам.

 

Рис. 2.3. Обтекание модели автомобиля несжимаемой жидкостью. Источник: Wikkimedia Commons.

 

Рис. 2.4. Модель сверхзвукового самолета в туннеле с приблизительно 3.5 c. Источник: Wikkimedia Commons.

 

Турбулентные течения

В зависимости от того, насколько гладким (непрерывным) является поток, можно различать ламинарные и турбулентные потоки. Потоки, связанные с пожарами, обычно являются турбулентными.

 

Рис. 2.5. Обтекание профиля с отрывом потока. Материал: Wikkimedia Commons.

 

 

Параметры материала

Фундаментальный интерес представляют следующие свойства материала:

• плотность \rho это масса на данный объем
  • воздух при 20~^\circ C : \rho = 1.205~кг/м^3
  • воздух при 200~^\circ C: \rho = 0.746~кг/м^3
• динамическая вязкость \mu характеризует способность потока уравновешивать различия в скорости
  • воздух при 20~^\circ C : \mu = 1.836\cdot 10^{-5}~кг\,м / с
  • воздух при 200~^\circ C: \mu = 2.623\cdot 10^{-5}~кг\,м / с
• теплопроводность k эквивалентно \mu, но для температуры жидкости
  • воздух при 20~^\circ C : k = 0.0257~Вт\,м / К
  • воздух при 200~^\circ C: k = 0.0386~Вт\,м / К
• теплоемкость c_p описывает изменение температуры вследствие добавления или отвода тепла при постоянном давлении
  • воздух при 20~^\circ C : c_p = 1.005~кДж\,кг / К
  • воздух при 200~^\circ C: c_p = 1.026~кДж\,кг / К

 

Дополнительные данные по многим свойствам воздуха (и других материалов) можно найти в Engineering ToolBox (свойства воздуха).

 

Примерное количество: вязкость

Проще говоря, вязкость описывает, как движущиеся элементы жидкости, например слои, влияют на соседние элементы. Она описывает силы трения между относительно движущимися элементами жидкости.

Например, мед обладает высокой вязкостью: он очень медленно стекает по ложке. Внешние “элементы меда” прочно связаны с внутренними – несвободными – элементами.

 

Рис. 2.6. Мед, стекающий по ложке. Источник: Wikkimedia Commons

 

В простой двумерной установке с неподвижной и движущейся стенками, см. Рис.2.7, динамическая вязкость описывает соотношение сил, действующих на стенки, и градиента скорости. Если градиент скорости u/y является постоянным, это приводит к следующей силе трения на площадь:

 

\frac{F}{A} = \mu \cdot \frac{u}{y} \quad\quad (2.4)

 

Рис. 2.7. Визуализация концепции вязкости. Материал: Wikkimedia Commons

 

При помощи формулы 2.4 определяется динамическая вязкость \mu. Тем не менее, в некоторых случаях кинематическая вязкость \nu (или коэффициент диффузии по импульсу) является более удобной величиной. Он определяется как отношение динамической вязкости к плотности

 

\nu = \frac{\mu}{\rho} \quad\quad (2.5)

 

Жидкости, вязкость которых не зависит от напряженного состояния, называются ньютоновскими жидкостями, все газы являются ньютоновскими жидкостями. Однако существуют также неньютоновские жидкости, такие как кровь, томатный кетчуп и вода, смешанная с кукурузным крахмалом.

 

Безразмерные числа

Многие явления и типы потоков могут характеризоваться безразмерными числами. Предполагается, что потоки с аналогичными характеристиками сопоставимы, хотя, например, пространственные масштабы различны. Некоторые из обычно используемых безразмерных чисел являются:

• Число Маха Ma
• Число Рейнольдса Re
• Номер Грасхофа Gr
• Число Прандтля Pr
• Число Архимеда Ar
• Число Ричардсона Ri
• Номер Нусселя Nu

 

Число Маха

Число Маха определяется как отношение скорости к скорости звука, т.е.

 

Ma = \frac{v}{c_s} \quad\quad (2.6)

 

Это число характеризует сжимаемость потока:

• Ma \rightarrow 0: полностью несжимаемые
• Ma \lesssim 0.3: несжимаемые
• Ma \gtrsim 0.3: сжимаемые

Предел Ma \rightarrow 0 также могут быть истолкованы как c \rightarrow \infty.

 

Число Рейнольдса

Число Рейнольдса связывает конвекцию с диффузией:

 

Re = \frac{\rho v L}{\mu}

 

Здесь, L обозначает характерную длину, в случае течения в трубе это будет диаметр трубы. Число Рейнольдса может использоваться для отличия ламинарных течений от турбулентных, т.е. очень высокая Re представляет собой турбулентные потоки. В потоке по трубе характерный номер перехода равен примерно Re \approx 4000. Это число является классическим примером масштабирования. Явления течения при одинаковом числе Рейнольдса будут вести себя одинаково; это может быть показано нормализацией уравнений течения.

 

Рис. 2.8. Скорость и числа Рейнольдса для некоторых летающих объектов. Источник: Wikkimedia Commons.

 

Уравнения жидкости

Законы сохранения

Динамика жидкости основана на следующих трех физических законах сохранения:

• сохранение массы
• сохранение импульса
• энергосбережение

Из этих законов могут быть выведены основные уравнения течения жидкости:

• уравнение непрерывности
• уравнение движения
• уравнение энергии

В общем случае, помимо этих уравнений требуется замыкание, например, с помощью уравнения состояния. Во многих случаях можно использовать закон идеального газа.

 

Сохранение массы

Сохранение массы предсказывает, что общая масса контрольного объема изменяется только при наличии чистого расхода (неравновесного входного и выходного потоков) через границы. Несжимаемые потоки всегда имеют нулевой чистый расход.

При моделировании пожара необходимо учитывать несколько компонентов (например, кислород, топливо и углекислый газ). Их масса сохраняется индивидуально. Однако они тесно связаны друг с другом через термины “источник”. Например, во время горения кислород и топливо расходуются для получения углекислого газа.

 

Сохранение импульса

Импульс элемента жидкости изменяется только из-за:

• адвекция импульса
• градиенты давления
• диффузия и напряжения, т.е. из-за конечной вязкости
• внешние силы, например, гравитация, капли воды

При моделировании турбулентности особый интерес представляет диффузия. Это явление должно быть охвачено моделями турбулентности.

 

Сохранение энергии

Изменения энергии контрольного объема обусловлены:

• адвекция энергии
• теплопроводность
• процессы нагрева и охлаждения, например излучение, трение, горение

В сочетании с принципом сохранения энергии для определения температуры газа необходимо уравнение состояния.

 

Дифференциальные уравнения в частных производных

Дифференциальные уравнения в частных производных (PDE) являются одним из самых мощных инструментов в науке и технике. Большинство технических, математических, физических, химических и даже биологических моделей основаны на дифференциальных уравнениях. Решения дифференциальных уравнений могут описывать:

• потоки газа и процессы горения
• распределение тепла в твердых телах
• колебания маятника
• распространение волн света или воды
• взаимодействие двух видов (хищника и жертвы)

 

Типы PDE

Общая структура PDE для \phi = \phi(x,y) дается

 

a\partial_{xx}\phi + b\partial_{xy}\phi + c\partial_{yy}\phi + d\partial_x\phi + e\partial_y\phi + f\phi = 0

 

где все коэффициенты ( a,\dots,f) зависят от x и y, например a = a(x,y).

Коэффициенты определяют характер PDE:

 

D(x,y) = a(x,y)\cdot c(x,y) - \left(\frac{b(x,y)}{2}\right)^2

 

• D \gt 0: эллиптическое, например, уравнение Лапласа
• D = 0: параболическое, например, уравнение теплопроводности
• D \lt 0: гиперболическое, например, волновое уравнение

Примечание: Тип может зависеть от различных параметров материала и / или положения, здесь (x,y).

 

Полевые операторы

Двумя наиболее распространенными математическими операторами, используемыми в гидродинамике, являются частная производная и оператор Набла.

Частная производная описывает изменение поля в заданном направлении пространства или времени. Изменение поля скоростей \overrightarrow{v}(x,y,z,t) что касается времени, то:

 

\frac{\partial \vec{v}(x,y,z,t)}{\partial t} \quad \text{or short}\quad \partial_t \vec{v}(x,y,z,t)

 

Оператор Nabla \nabla используется для представления операций Лапласа, градиента, расхождения и вращения.

 

\nabla = \left( \partial_x, \partial_y, \partial_z \right)

 

\Delta(\rho) = \nabla^2\rho \\ grad(\rho) = \nabla\rho \\ div(\overrightarrow{v}) = \nabla\cdot\overrightarrow{v} \\ rot(\overrightarrow{v}) = \nabla\times\overrightarrow{v}

 

Конвективная производная объединяет оба оператора. Она представляет полное изменение значения из-за локальных внутренних изменений и из-за адвекции. Изменение скалярного значения \phi(x,y,z,t) поэтому могут быть записаны следующим образом

 

\frac{d\phi}{dt} = \partial_t \phi + \overrightarrow{v}\cdot(\nabla\phi) [latex]</p> <p> </p> <p>Первый семестр ([latex] \partial_t \phi) представляет собой внутренние изменения, а второй (\overrightarrow{v}\cdot(\nabla\phi)) описывает изменения, вызванные адвекцией в поле скоростей \overrightarrow{v}.

 

Уравнение непрерывности

Уравнение непрерывности для потока одного вида имеет вид

 

\frac{d\rho}{dt} = \underbrace{-\rho\nabla\cdot\vec{v}}_{A} \quad\quad (2.7)

 

• A: чистый расход массы

Принимая во внимание конвективную производную, обычно используемая формулировка может быть получена следующим образом

 

\partial_t \rho = -\nabla\cdot(\rho\vec{v}) \quad\quad (2.8)

Уравнение движения

Принимая во внимание сохранение импульса, можно сформулировать следующую простую форму уравнения движения

 

\partial_t \rho\vec{v} + \nabla\cdot(\rho\vec{v}\vec{v}) = \underbrace{-\nabla p}_{A} + \underbrace{\mu\nabla^2\vec{v}}_{B} + \underbrace{\vec{f}}_{C} \quad\quad (2.9)

 

• A: усилие, обусловленное перепадами давления
• B: молекулярная диффузия
• C: внешние силы, например, гравитация

Это уравнение широко известно как уравнение Навье-Стокса.

 

Уравнение энергии

Уравнение для энергии E = e + \frac{1}{2}\overrightarrow{v}^2 дается

 

\partial_t (\rho E) + \nabla\cdot(\vec{v}\rho E) = \underbrace{-\nabla\cdot(\vec{v}p)}_{A} + \underbrace{\nabla\cdot(\mu\vec{v}\nabla\vec{v})}_{B} + \underbrace{\nabla\cdot(k\nabla T)}_{C}+ \underbrace{\vec{v}\cdot\vec{f}}_{D}+\underbrace{\dot{Q_s}}_{E} \quad\quad (2.10)

 

• A: работа, выполняемая с жидкостью из-за перепадов давления
• B: работа, выполняемая с помощью вязкости
• C: теплопроводность
• D: работа, выполняемая внешними силами
• E: источники и поглотители тепла

 

Примечание: Иногда предпочтительнее формулировка в терминах энтальпии. Это относится к уравнениям, решаемым с помощью FDS.

 

Уравнения несжимаемости

Если поток несжимаемый и предполагается, что он изотермический, то остальные уравнения, которые необходимо решить, следующие:

 

\partial_t \rho\vec{v} + \nabla\cdot(\rho\vec{v}\vec{v}) = -\nabla p + \mu\nabla^2\vec{v} + \vec{f} \\ \nabla^2 p = - \nabla\cdot\left(\nabla\cdot(\rho\vec{v}\vec{v})\right) + \nabla \cdot \vec{f}

 

Режим слабого сжатия

В полностью несжимаемых потоках давление мгновенно уравновешивает все расхождения и, следовательно, поддерживает плотность постоянной.

В режиме сжимаемости закон идеального газа обеспечивает связь между сохранением энергии и массы и импульса.

Для потоков с низкой скоростью, как при пожарах, но при значительных колебаниях температуры плотность может изменяться. Это не связано с колебаниями давления, поскольку давление остается относительно неизменным. Это так называемый слабо сжимаемый режим.

Здесь используется уравнение состояния при фиксированном давлении окружающей среды p_0 для определения плотности:

 

\rho = \frac{p_0 M}{R T}

 

с M представляет собой молекулярную массу интересующего объема.

 

Граничные условия

Помимо уравнений жидкости, другим важным аспектом являются граничные условия. Во многих приложениях влияние граничных условий имеет решающее значение, и их надлежащая обработка необходима.

В общем случае существует несколько типов граничных условий:

• Дирихле: заданы явные значения

 

u=u_0\quad v=w=0

 

• Нейман: предписывается нормальная производная

 

\partial_n u = n_0\quad \partial_n v = \partial_n w = 0

 

• симметричные: производные используются для сохранения предписанной симметрии
• периодические: значения на границах облицовки поддерживаются равными

 

Некоторые явные примеры граничных условий, обычно используемых в гидродинамике:

• отсутствие скольжения по сплошной стене

 

u = v = w = 0 \quad \text{на стене}

 

• вход для газа

 

u = u_0\quad v=w=0 \quad \text{в притоке}

 

• утечка газа

 

\partial_n u = \partial_n v = \partial_n w = 0\quad \text{в оттоке}

 

• постоянная температура стенок

 

T = T_w

 

• стена с изменяющейся температурой, но фиксированным тепловым потоком

 

q_w = k \partial_n T\quad \text{на стене}

 

• адиабатический

 

k\partial_n T = 0 \quad \text{на стене}

 

Рис. 2.9. Пример установки границы для открытого факела.

 

Рис. 2.10. Пример установки границ для простого отсека.