Турбулентность является одной из основных научных проблем. Математическое описание и экспериментальные данные, относящиеся к гидродинамике, известны и доступны уже более ста лет.
“Турбулентность - важнейшая нерешенная проблема классической физики”. — Ричард Фейнман
”Когда я встречусь с Богом, я задам ему два вопроса: Почему теория относительности и почему турбулентность? Я действительно верю, что у него будет ответ на первый вопрос ”. — Вернер Гейзенберг
Понимание природы турбулентности является одной из проблем тысячелетия.
Рис. 2.27. Большая волна у берегов Канагавы. Источник: Wikimedia Commons.
Рис. 2.28. Неустойчивость Кельвина–Гельмгольца в облачном образовании. Источник: Wikimedia Commons.
Одним из справочников по турбулентности является [Pop00] и другие интересные материалы на LES тематику: [Pop04].
Характеристика
Среди первых научных экспериментов по описанию и анализу турбулентных течений – работа Осборна Рейнольдса. Он изучал условия, при которых поток претерпевает переход из упорядоченного состояния в хаотическое. Одно из этих исследований опубликовано в [Rey83], см. Рис. 2.29 и Рис. 2.30.
Рис. 2.29. Эксперимент Рейнольдса в 1883 году. Источник: Wikimedia Commons.
Рис. 2.30. Наблюдения течения в эксперименте Рейнольдса, см. Также оригинальную статью [Rey83]. Источник: Wikimedia Commons.
С помощью этих экспериментов можно исследовать переход потока в зависимости от числа Рейнольдса. Другой пример для определения перехода из ламинарного состояния в турбулентное для буйного столба показан на Рис. 2.31. Полная экспериментальная установка и результаты приведены в [MABH18].
Рис. 2.31. Экспериментальная установка плавучего шлейфа, более подробную информацию см. в [MABH18] Здесь мощность нагрева медного блока определяет скорость потока
Рис. 2.32. Пример мгновенных полей скоростей для различных скоростей нагрева. Поле скоростей регистрируется с помощью метода велосиметрии изображений частиц (PIV)
Рис. 2.33. Временные ряды составляющих скорости в выбранных точках (синие кружочки на Рис. 2.32)
Рис. 2.34. Статистика колебаний скорости
Канонической установкой для перехода от ламинарного течения к турбулентному является течение в трубе, как показано на Рис. 2.35. Начиная с равномерного потока на входе, поток в резервуарах замедляется и развивается соответствующая картина течения. В зависимости от числа Рейнольдса профили средних скоростей существенно различаются. В то время как в ламинарном случае развивается параболический профиль, для турбулентного потока характерен уплощенный профиль, см. Рис. 2.36. Другое наблюдение заключается в том, что эффективная вязкость отличается в обоих случаях. Хотя в ламинарном случае наблюдаемое значение является свойством материала и, следовательно, постоянным, в турбулентном случае оно показывает более высокое и динамичное значение, см. Рис. 2.37.
Рис. 2.35. Схема течения в трубе. Стрелками показана усредненная по времени скорость.
Рис. 2.36. Схемы означают течение в трубе.
Рис. 2.37. Схемы эффективной вязкости в потоке в трубе.
В следующем видео показано несколько простых экспериментов, включая тот, который провел Рейнольдс, которые могут помочь понять некоторые фундаментальные концепции течения жидкости и турбулентности.
Масштабы
В турбулентности преобладает взаимодействие больших и малых масштабов, которые очень различны:
- производство кинетической энергии, например, пожар в масштабе 1~м
- рассеивание кинетической энергии в тепло в воздухе со скоростью 1~м/с масштаб рассеивания (шкала Колмогорова) составляет примерно 25~\mu м
Рис. 2.38. Масштабы, участвующие в турбулентном потоке.
Интегральный масштаб, на котором структуры потока распадаются на более мелкие структуры, соединяет оба вышеуказанных масштаба.
В литературе по турбулентности структуры часто представляются волновыми числами k:
k = \frac{2\pi}{L}\quad
Таким образом, наименьший разрешимый вихрь L=2\Delta x имеет волновое число
k_0 = \frac{\pi}{\Delta x}\quad
Рис. 2.39. Масштабы и разрешение на числовой сетке.
Часто при турбулентности рассматривается спектр кинетической энергии. Его можно разделить (по крайней мере) на три секции, как показано на Рис. 2.40.
Рис. 2.40. Энергетический спектр для однородного изотропного турбулентного потока.
Учитывая конечное значение разрешения сетки, а следовательно, и минимального волнового числа, энергетический спектр не может быть полностью разрешен, и неразрешенные части должны быть смоделированы с помощью модели подсеточного масштаба (SGS).
Для моделирования турбулентности необходимо аппроксимировать влияние малых масштабов на большие. Два основных подхода основаны либо на пространственных, либо на временных методах.
Моделирование
При моделировании пожара распространены два класса моделей турбулентности: прямое численное моделирование (DNS) и моделирование больших вихрей (LES). Хотя для практических приложений подходит только класс LES.
Рис. 2.41. Обзор разрешенных и смоделированных масштабов в DNS и LES моделирований.
Рис. 2.42. Разрешенные масштабы различных подходов к моделированию.
DNS не моделирует какие-либо масштабы, а скорее разрешает их все. Таким образом, эта модель может быть применена только в том случае, если шкала Колмогорова разрешена численно.
Общая идея LES заключается в формулировании уравнений для пространственно отфильтрованных величин. В случае LES этот фильтр задается
\langle\phi\rangle = \bar{\phi} = \frac{1}{V}\int_V \phi\ dV \quad (2.25)
дƒля любого количества полей \phi = \phi(x,y,z,t).
Для простоты в LES приведены уравнения для пространственно отфильтрованной скорости \langle\vec{v}\rangle для несжимаемого изотермического потока приведены
\partial_t(\rho \langle\vec{v}\rangle) + \nabla\cdot(\rho \langle\vec{v}\rangle \langle\vec{v}\rangle) = -\nabla \langle p\rangle + \mu\nabla^2 \langle\vec{v}\rangle - \nabla\cdot(\underbrace{\langle\rho\vec{v}\vec{v}\rangle - \rho \langle\vec{v}\rangle \langle\vec{v}\rangle}_{\tau_{sgs}}) \quad (2.26)
Задание. Выведите приведенную выше формулу, применив фильтр (2.25) к уравнению движения (2.29) с \langle\rho\rangle = \rho.
Тензор остаточных напряжений \tau_{sgs} необходимо смоделировать взаимодействие масштабов. Здесь применяется гипотеза Буссинеска:
\tau_{sgs} - \frac{1}{3}tr(\tau_{sgs})I = -2\mu_t \langle \mathbf{S}\rangle
\langle \textbf{S}\rangle является ли отфильтрованный тензор напряжений и \mu_t турбулентная вязкость, которую необходимо определить.
Таким образом, уравнения LES для \langle\vec{v}\rangle идентичны уравнениям Навье-Стокса для \vec{v}, но с эффективной вязкостью
\mu_{eff} = \mu_{mol} + \mu_t\quad
Поскольку отфильтрованное уравнение движения (2.26) почти равно нефильтрованному варианту, ниже скобки для фильтрации опущены.
Константа Смагоринского
Модель Смагоринского-Лилли основана на предположении, что турбулентная вязкость ниже ширины фильтра \Delta, здесь мы сосредоточимся на неявных LES с \Delta = \Delta x, могут быть описаны с помощью
\mu_t = \langle\rho\rangle C_S^2\Delta^2\|\textbf{S}\|
и
\|\textbf{S}\| = \sqrt{S_{ij}S_{ij} - \frac{2}{3}\left(\nabla\cdot\vec{v}\right)^2} \quad
Здесь, C_S является постоянной Смагоринского. Выбор C_S может оказать существенное влияние на результаты моделирования. Обычно используется значение C_S=0.2, которая не зависит от положения или времени. Помимо этой статической модели, существует также динамическая модель, где значение C_S зависит от свойств потока.
Примечание: Общим представлением операций с векторами и тензорами является соглашение (Эйнштейна) о суммировании. Оно означает, что сумма вычисляется по всем индексам, которые встречаются дважды. Например:
\vec{a} \cdot \vec{b} = \sum_i a_i b_i = a_i b_i \quad
Модель Дирдорфа
Другой подход предложен Дирдорфом, который является текущей моделью по умолчанию в FDS. Он использует средние значения ячеек ( \bar{v}) и средневзвешенные значения ( \hat{v}) скорости для определения турбулентной вязкости:
\mu_t = \rho C_V\Delta \sqrt{k_{sgs}}
с
k_{sgs} = \frac{1}{2}\left(\bar{v} - \hat{v}\right)^2\quad
Значение константы в литературе равно C_V=0.1.
Реализация в FDS
FDS предлагает различные режимы моделирования, см. Раздел 7.2 в [MHF+20d]: DNS (Direction Numerical Simulation – направленное численное моделирование), LES (Large Eddy Simulation – моделирование больших вихрей), VLES (Very Large Eddy Simulation – моделирование очень больших вихрей) и SVLES (Simple Very Large Eddy Simulation – простое моделирование очень больших вихрей — VLES с упрощенной физикой). Режим по умолчанию – VLES.
В настоящее время доступны следующие модели турбулентной вязкости, см. Раздел 7.5 в [MHF+20d]:
- Постоянный коэффициент Смагоринского
- Динамика Смагоринского
- Дирдорф
- Вихревая вязкость Времана
- Группа перенормировки Вихревой вязкости
- Локальная вихревая вязкость, Адаптируемая к стенкам